1. São conhecidos muitos resultados sobre a circunferência dos nove pontos, descobertos durante o séc. XIX. Podemos servir-nos do Sketchpad para os 'verificar'. Tente fazê-lo relativamente a três que transcrevemos a seguir, os dois primeiros devidos a Poncelet e o terceiro demonstrado por K. Feuerbach, matemático alemão. A circunferência dos nove pontos é chamada por muitos autores circunferência de Feuerbach.
a) Teorema A.
O raio da circunferência dos nove pontos tem um comprimento igual a metade do comprimento do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
b) Teorema B.
O centro da circunferência dos nove pontos está sobre a recta de Euler, a meia distância entre o ortocentro e o circuncentro.
Nota:
A recta de Euler é a recta definida pelo ortocentro e pelo circuncentro de um triângulo. Contém também o baricentro. Designe por orto o ortocentro e por circun o circuncentro.
Extensão:
O baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo. Construa-o, chame-lhe bari, verifique que está sobre a recta de Euler e conjecture qual é a sua posição em relação ao orto e ao circun. Tente confirmar a sua conjectura.
c) Teorema C.
A circunferência dos nove pontos é tangente à circunferência inscrita e às três circunferências ex-inscritas do triângulo.
Nota:
O centro da circunferência inscrita é o incentro - designe-o por incen. As circunferências ex-inscritas são tangentes às três rectas suporte dos lados do triângulo, mas são exteriores ao triângulo.
Eduardo Veloso